Zbierka úloh z externej maturity

Množiny - Intervaly, množiny, Vennove diagramy

Množinové operácie – definície

Diagram – znázornenie množiny

Prvok množiny – objekt množiny

$a \in A$ znamená “a je prvkom množiny A” alebo “a patrí A”
$a \notin A$ znamená “a nie je prvkom množiny A” alebo “a nepatrí A”

Prázdna množina – sa označuje $\{\}$ alebo $\emptyset$.

Pozor! Označenie $\{\emptyset\}$ neznamená prázdnu množinu!

Vzájomný vzťah dvoch množín

Podmnožina:

$A \subseteq B$ = ak každý prvok množiny A je tiež prvkom množiny B
formálne: $A \subseteq B \Leftrightarrow (\forall x: x \in A \Rightarrow x \in B)$

Disjunktné množiny:

ak ich prienik je prázdny
formálne ak $A \cap B = \emptyset$

Rovnosť množín:

$A = B$, ak obe množiny obsahujú tie isté prvky
formálne: $A = B \Leftrightarrow (A \subseteq B \land B \subseteq A)$

Množinové operácie

Zjednotenie $A \cup B$ je množina všetkých prvkov vytvorená zo všetkých prvkov A aj zo všetkých prvkov B, pričom rovnaké prvky sa neopakujú

\[A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\}\]

Prienik $A \cap B$ je množina všetkých prvkov, ktoré patria do A a súčasne aj do B.

\[A \cap B = \{x \mid x \in A \land x \in B\}\]

Rozdiel množín $A - B$ je množina všetkých prvkov, ktoré patria do A a nepatria do B

\[A - B = \{x \mid x \in A \land x \notin B\}\]

Doplnok množiny \[A' = U - A\]

Vlastnosti množinových operácií

Operácie prienik a zjednotenie sú asociatívne:

\[(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\]

\[(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\]

aj komutatívne:

\[A \cap B = B \cap A\]

\[A \cup B = B \cup A\]

Operácie prienik a zjednotenie sú distributívne:

\[(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)\]

\[(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)\]

De Morganove pravidlá pre množiny:

\[(A \cap B)' = A' \cup B'\]

\[(A \cup B)' = A' \cap B'\]

Počet prvkov konečných množín

\[|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\]

Intervaly

Podmienka	Interval
$x < a$	$(-\infty, a)$
$x \leq a$	$(-\infty, a\rangle$
$b < x$	$(b, \infty)$
$b \leq x$	$\langle b, \infty)$
$a < x < b$	$(a, b)$
$a \leq x < b$	$\langle a, b)$
$a < x \leq b$	$(a, b\rangle$
$a \leq x \leq b$	$\langle a, b\rangle$

Karteziánsky súčin množín

Karteziánsky súčin množín A, B – množina všetkých usporiadaných dvojíc $[x, y]$, pre ktoré platí $x \in A \land y \in B$

\[A \times B = \{[x, y] \mid x \in A \land y \in B\}\]

Vennove diagramy

Vennove diagramy sa používajú na grafické znázornenie množín a množinových operácií.

Definície množín v príkladoch

Úloha 1

Doplňte do definícií:

namiesto ….. doplňte “$\in$ (patrí)”, respektíve “$\notin$ (nepatrí)”
namiesto _________ doplňte $\land$ “a súčasne”, respektíve $\lor$ “alebo”

zjednotenie:	$A \cup B = \{x \mid x$ ….. $A$ _________ $x$ ….. $B\}$

prienik:	$A \cap B = \{x \mid x$ ….. $A$ _________ $x$ ….. $B\}$

rozdiel množín:	$A - B = \{x \mid x$ ….. $A$ _________ $x$ ….. $B\}$

Úloha 2

Doplňte správny množinový symbol namiesto ___ tak, aby nasledujúce výroky boli pravdivé:

$A$ ___ $B = \{x \in A \land x \notin B\}$
$(x \in A$ ___ $B \land x \notin A) \Rightarrow x \in B$
$(A - B)$ ___ $A = \emptyset$
$A - (A - B) = A$ ___ $B$

Úloha 3

Určte, koľko z nasledovných tvrdení je pravdivých. (2011/26)

Ak $x \in B$ a $x \notin A$, tak $x \in B - A$.
Ak $x \in B$ a $x \notin A$, tak $x \in A \cup B$.
Ak $x \in A \cup B$, tak $x \in A$ a súčasne $x \in B$.
Ak $x \notin A \cap B$, tak $x \notin A$ a súčasne $x \notin B$.
Ak $x \in A \cap B$, tak $x \in A$ alebo $x \in B$.

1. 1
1. 2
1. 3
1. 4
1. 5

Úloha 4

Platia nasledujúce rovnosti? Súčet čísel pri pravdivých tvrdeniach je:

$A - (B \cap C) = (A - B) \cup (A - C)$
$A \cap (B - C) = (A - C) \cup (B - C)$
$A - (B - C) \subset A - (B \cup C)$
$A - (B \cup C) \subset A - (B - C)$

Úloha 5

Všetky uvedené rovnosti s výnimkou jednej platia pre ľubovoľné neprázdne množiny K, L, M. Ktorá z uvedených rovností neplatí?

1. $K \cup \emptyset = K$
1. $K \cap (L \cap M) = (K \cap L) \cap M$
1. $(K \cup L) \cap L = L$
1. $K \cup (L \cap \emptyset) = K \cup L$
1. $K \cup L \cup M = L \cup M \cup K$

Úloha 6

A, B sú dve podmnožiny množiny M, pričom A je nekonečná množina a B je konečná množina. Ktorý z nasledujúcich výrokov je potom nepravdivý?

1. $A \cup B$ je nekonečná množina
1. $A \cap B$ je konečná množina
1. $A \cap M = M$
1. $A \cup M = M$
1. $A \cap B'$ je nekonečná množina

Úloha 7

Nech $K_1$, $K_2$ sú ľubovoľné dve konečné množiny a M nech je ľubovoľná nekonečná množina. Ktoré z uvedených tvrdení je potom nepravdivé?

1. $K_1 \cup K_2$ je konečná množina
1. $K_1 \cap K_2$ je konečná množina
1. $K_1 \cup M$ je nekonečná množina
1. $K_1 \cap M$ je nekonečná množina
1. $M - K_1$ je nekonečná množina

Úloha 8

Koľko z nasledujúcich rovností je pravdivých? (2023/21)

$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
$(A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C)$
$(A \cup B) \cap C = A \cup (B \cap C)$
$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$

1. 0
1. 1
1. 2
1. 3
1. 4

Úloha 9

Nech $B \subset A$. Zjednodušte zápis:

$(A \cap B) - A =$
$(A \cup B) - A' =$
$(A \cap B) \cup B =$
$(A - B) \cup B =$

Úloha 10

Nech $A, B \subset U$. Doplňte:

$A - \emptyset =$
$\emptyset - A =$
$\emptyset' =$
$A' \cap A =$
$A' \cup A =$
$(A')' =$
$(A \cap B) \cup B' =$

Úloha 11

Rozhodnite, či pre neprázdne množiny K, L, M platí:

$(K \cup \emptyset) \cap L = K \cap L$
$K \cup (L \cap \emptyset) = K \cup L$
$K \cap (L \cup M) = (K \cap L) \cup M$
$K - L = K - (L \cap K)$
$K \cup L = (K \cap L) \cup (L - K) \cup (K - L)$
$(K \cap L) \cup (K - L) = K$

Intervaly a množinové operácie v príkladoch

Úloha 1

Pomocou intervalov zapíšte množinu:

$A = \{x \in \mathbb{R}; x \leq 2\}$
$B = \{x \in \mathbb{R}; 3x \geq 8 \land 5x < 29\}$
$C = \{x \in \mathbb{R}; |x - 2| < 3\}$
$D = \{x \in \mathbb{R}; |x - 1| \geq 4\}$

Úloha 2

Charakteristickou vlastnosťou zapíšte množinu:

$A = (-\infty, 2)$
$B = (-\infty, -1) \cup (6, \infty)$
$C = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$

Úloha 3

Sú dané množiny $A = \{x \in \mathbb{R}; |x - 1| \leq 4\}$, $B = \{x \in \mathbb{R}; |3 - x| < 2\}$, $C = \{x \in \mathbb{R}; |x| < 2\}$.

Nájdite: a) $A \cap B$, b) $A \cup C$, c) $C - B$

Úloha 4

Sú dané množiny $A = \{x \in \mathbb{R}; |x| \geq 1\}$, $B = \{x \in \mathbb{R}; |x - 3| > 1\}$, $C = \{x \in \mathbb{R}; x \leq 1\}$.

Nájdite: a) $A \cap B$, b) $B \cup C$, c) $A - C$

Úloha 5

Dané sú množiny $A = \langle -4, 3\rangle$, $B = (-1, 5)$. Nájdite množiny:

$A \cup B$
$A \cap B$
$A - B$
$B - A$

Úloha 6

Dané sú množiny $A = (-\infty, 2\rangle$, $B = \langle -1, 5)$. Nájdite množiny:

$A \cup B$
$A \cap B$
$A - B$
$B - A$

Úloha 7

Dané sú množiny $A = (-2, 4\rangle$, $B = \langle 1, 7)$. Nájdite množiny:

$A \cup B$
$A \cap B$
$A - B$
$B - A$

Úloha 8

Dané sú množiny $M = \{x \in \mathbb{R}; |x - 1| < 2\}$, $N = \{x \in \mathbb{R}; |x + 1| \leq 3\}$. Určte:

$M \cup N$
$M \cap N$

Úloha 9

Dané sú množiny $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$. Nájdite:

$A \cup B$
$A \cap B$
$A - B$
$B - A$

Úloha 10

Dané sú množiny $X = \{a, b, c, d\}$, $Y = \{b, d, e, f\}$. Určte:

$X \cup Y$
$X \cap Y$
$X - Y$
$Y - X$

Úloha 11

Nech $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ je univerzálna množina, $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$, $B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$. Určte:

$A'$
$B'$
$(A \cup B)'$
$(A \cap B)'$

Úloha 12

Nech $U = \{x \in \mathbb{Z}; -5 \leq x \leq 5\}$, $A = \{x \in U; x < 0\}$, $B = \{x \in U; x \geq 2\}$. Určte:

$A'$
$B'$
$A \cap B'$

Úloha 13

Dané sú množiny $A = \{x \in \mathbb{R}; x^2 - 5x + 6 = 0\}$, $B = \{x \in \mathbb{R}; x^2 - 4x + 3 = 0\}$. Určte $A \cup B$ a $A \cap B$.

Úloha 14

Dané sú množiny $M = \{x \in \mathbb{R}; x^2 = 4\}$, $N = \{x \in \mathbb{R}; x^2 - x - 2 = 0\}$. Určte $M \cup N$ a $M \cap N$.

Úloha 15

Dané sú množiny $A = \{1, 2\}$, $B = \{3, 4, 5\}$. Určte karteziánsky súčin $A \times B$ a $B \times A$.

Úloha 16

Zapíšte pomocou intervalov množinu všetkých reálnych čísiel x, pre ktoré platí:

$2x - 3 < 5$
$3x + 1 \geq 7$
$-2 < x - 1 \leq 3$

Úloha 17

Zapíšte pomocou intervalov riešenie nerovnice:

$x^2 - 4 < 0$
$x^2 - 9 \geq 0$
$x(x - 3) > 0$

Úloha 18

Dané sú množiny $A = \{x \in \mathbb{R}; 1 < x \leq 5\}$, $B = \{x \in \mathbb{R}; -2 \leq x < 3\}$. Zapíšte pomocou intervalov:

$A \cup B$
$A \cap B$
$A - B$

Úloha 19

Vymenovaním prvkov zapíšte množiny:

$A = \{x \in \mathbb{N}; x < 6\}$
$B = \{x \in \mathbb{Z}; -3 < x \leq 2\}$
$C = \{x \in \mathbb{N}; x \text{ je párne a } x < 10\}$

Úloha 20

Charakteristickou vlastnosťou zapíšte množinu:

$M = \{2, 4, 6, 8, 10\}$
$N = \{1, 3, 5, 7, 9\}$
$P = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$

Úloha 21

Určte vymenovaním dvojice všetkých podmnožín X, Y, ktoré spĺňajú jednotlivé trojice podmienok:

$X \subset \{1, 2, 3, 5, 6, 9\}$, $Y \subset \{2, 3, 4, 5, 8\}$, $X \cap Y = \{5\}$
$X \cup Y = \{3, 5, 6, 8\}$, $X \cap \{4, 6, 8\} = \emptyset$, $Y \cap \{1, 3, 5, 7\} = \{3, 5\}$
$X \cap Y = \emptyset$, $X' \cap Y = \{3, 5, 7\}$, $X \cap Y' = \{2, 4, 6, 8\}$
$X \cap Y = \{2, 6, 7\}$, $X \subset \{5\}'$, $Y \subset \{1, 2, 4, 6, 7\}$

Úloha 22 (2006/20)

Sú dané otvorené intervaly $A = (x - 2; 2x - 1)$, $B = (3x - 4; 4)$.

Nájdite najväčšie reálne číslo x, pre ktoré platí $A \subset B$.

Úloha 23 (2007A)

Sú dané intervaly $A = (-2; 5\rangle$ a $B = \langle 2x + 7; 7)$. Nájdite najväčšiu hodnotu x, pre ktorú je prienik $A \cap B$ neprázdna množina.

Úloha 24 (Fri 2017/2)

O intervaloch $I_1$ a $I_2$ vieme: $I_1 = \langle - 5, 0)$ a $I_1 \cup I_2 = \langle -5, 7)$. Ktorý z nasledujúcich intervalov by mohol byť $I_2$?

(-1; 7) (B) (0; 7) (C) ⟨0; 7⟩ (D) (1; 7⟩

Úloha 25:

Dané sú množiny $A = (1,3)$, $B = (-\infty,2)$. Ak platí: $(A \cup B) - C = (-\infty,-2)$, potom do množiny C určite nepatrí číslo:

0 b) -2 c) -3 d) 7 e) 1,5

Grafické znázornenie množín - Vennove diagramy

Úloha 1: Rozpoznanie množiny z diagramu

Zapíšte množiny zobrazené na Vennových diagramoch.

||||

Úloha 2:

Overte pomocou Vennových diagramov, že platia deMorganove pravidlá.

Úloha 3:

Množinu $(A \cup B)'$ môžeme zapísať ako:

$A \cup B$
$A' \cup B'$
$A' \cap B'$

Úloha 4:

Pomocou diagramov overte: $(A \cup B)' \cup (A \cap B) = (A - B)' \cap (B - A)'$

Úloha 5:

Do Vennovho diagramu zakreslite:

$(A \cap B)' - C$
$(A' - B) \cap C$
$A \cap B \cap C'$

Úloha 6:

Pomocou Vennových diagramov zistite, či platí:

$(A \cup B) \cap C' = (A \cap C') \cup (B \cap C')$
$(A - B) \cap C = (A - C) \cap (B - C)$
$(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$

Úloha 7: (2005A/21)

Ktorá z nasledujúcich množín je vyznačená na diagrame na obrázku?

$(A) \quad (A \cap C) \cup B \qquad (B) \quad (A \cap B) \cup C \qquad (C) \quad (A \cup B) \cap C$
$(D) \quad (A \cup C) \cap B \qquad (E) \quad (B \cup C) \cap A$

Úloha 8: (2024/24)

Vyfarbená časť Vennovho diagramu znázorňuje množinu. Ktorá z uvedených možností vyjadruje jej množinový zápis?

$(A) \quad K \cup L \cap M \qquad (B) \quad K \cap L' \cup M \qquad (C) \quad K \cap L \cap M' \qquad$

$(D) \quad K \cap L \cap M \qquad (E) \quad K \cap L' \cap M$

Úloha 9:

Množinu $[C - (A \cup B)] \cup [(C - A) \cap B]$ môžeme tiež zapísať ako:

$(A) \quad A - C \qquad (B) \quad C - A \qquad (C) \quad C$

Úloha 10: (2025/1)

Množinový diagram znázorňuje množiny K, L a M. Ich prvky sú znázornené bodkami. Koľko prvkov má množina $K M L $?

Počítanie prvkov množiny

Úloha 11:

Vypočítaj počet prvkov pre množinu A, množinu B, a potom pre ich zjednotenie. Platí tento vzťah: $|A \cup B| = |A| + |B|$?

Úloha 12:

Dané sú množiny A, B. Zistite počet |B| prvkov množiny B, ak viete, že $|A \cup B| = 456$, $|A \cap B| = 78$, $|A| = 169$.

|B| = 443
|B| = 378
|B| = 365
|B| = 287
|B| = 169

Úloha 13:

Pre dve neprázdne množiny A, B platí: množina $A \cup B$ má 17 prvkov, $A \cap B$ má 9 prvkov, $B - A$ je prázdna množina. Koľko prvkov má množina $A - B$?

Úloha 14:

Na obrázku je znázornený Vennov diagram pre 4 množiny A, B, C, D (sivo vyznačená je množina A).

V každej zo 16 častí, z ktorých tento diagram pozostáva, je napísaný počet prvkov, ktorý v tejto časti leží

(teda napríklad počet prvkov množiny A je 1 + 3 + 10 + 12 + 11 + 9 + 8 + 13). Zistite počet prvkov množiny $(C \cap D) \cup (B - A)$

Úloha 15: (2008A/11)

Množina B - A má dvakrát menej prvkov ako množina A - B a štyrikrát menej prvkov ako množina $A \cap B$. Koľkokrát viacej prvkov má množina A ako množina B?

Príklady - príprava na maturitu

Riešenie úloh | Riešenie úloh pre mojich študentov - FREE

Pripravila: Mgr. Dana Kozáková - hodinová učiteľka

Podmienka	Interval
\(x < a\)	\((-\infty, a)\)
\(x \leq a\)	\((-\infty, a\rangle\)
\(b < x\)	\((b, \infty)\)
\(b \leq x\)	\(\langle b, \infty)\)
\(a < x < b\)	\((a, b)\)
\(a \leq x < b\)	\(\langle a, b)\)
\(a < x \leq b\)	\((a, b\rangle\)
\(a \leq x \leq b\)	\(\langle a, b\rangle\)