Zbierka úloh z externej maturity

Analytická geometria

Lineárne útvary – priamka, úsečka, polpriamka

Úloha 14 (2019/1)

Daný je pravidelný šesťuholník \(ABCDEF\). Bod \(A\) má súradnice \([1; 3]\) a bod \(D\) má súradnice \([4; 7]\). Vypočítajte súčet súradníc stredu jeho opísanej kružnice.

Úloha 15

Dané sú body \(A[8; 1]\) a \(B[6; 5]\). Určte:

  1. parametrické vyjadrenie priamky AB / polpriamky AB / úsečky

  2. všeobecnú rovnicu priamky

  3. smernicový tvar priamky

  4. smerový vektor

  5. normálový vektor

  6. smernicu

  7. os úsečky

  8. veľkosť uhla priamky s osou x

Úloha 16 (fri 2016/47)

Tri z uvedených bodov ležia na jednej priamke. Ktorý bod na nej neleží?

\(A[1; 3]\)   \(B[-1; -6]\)   \(C[0; -3]\)   \(D[-2; -15]\)

Smernicový tvar rovnice, smernica

Úloha 17 (2010/4)

Určte smernicu priamky, ktorá prechádza bodmi \(A[3; 0]\) a \(B[4; 2]\).

Úloha 18 (2014/25)

Dané sú body \(A[2; 2]\) a \(B[4; 10]\). Určte smernicu osi úsečky \(AB\).

  1. \(-4\)   (B) \(-\dfrac{1}{4}\)   (C) \(\dfrac{1}{4}\)   (D) \(4\)   (E) \(-\dfrac{1}{4}\)

Normálový vektor, kolmosť priamok

Úloha 19 (fri 2016/48)

Ktorá z uvedených priamok je kolmá na priamku \(p: 2x - 3y - 8 = 0\)?

  1. \(a: 2x - 3y + 3 = 0\)
  2. \(b: 2x + 3y - 3 = 0\)
  3. \(c: 3x + 2y - 2 = 0\)
  4. \(d: 3x - 2y + 2 = 0\)

Úloha 20 (2012/26)

V trojuholníku ABC výška na stranu \(a\) leží na priamke určenej rovnicou \(4x + 5y + 7 = 0\). Stred strany \(a\) je bod \(S[5; 2]\). Určte všeobecnú rovnicu priamky, na ktorej leží strana \(a\) trojuholníka ABC.

  1. \(4x + 5y = 0\)
  2. \(4x + 5y - 30 = 0\)
  3. \(5x + 4y - 33 = 0\)
  4. \(5x - 4y - 17 = 0\)
  5. \(5x - 4y + 10 = 0\)

Úloha 21 (2011/30)

Daná je priamka, ktorá prechádza bodmi \(A[-3; 22]\) a \(B[33; -2]\). Určte počet všetkých bodov tejto priamky, ktorých obidve súradnice sú kladné celé čísla.

  1. 3   (B) 5   (C) 7   (D) 9   (E) 11

Úloha 22 (2024/26)

V ktorej možnosti je parametrická rovnica priamky, ktorá prechádza bodmi \(A[-1;\, 2]\) a \(B[2;\, 3]\)?

  1. \(x = 2 + 3t;\; y = -1 + t,\; t \in \mathbb{R}\)

  2. \(x = 3 + 3t;\; y = 1 + t,\; t \in \mathbb{R}\)

  3. \(x = -1 + t;\; y = 2 + 3t,\; t \in \mathbb{R}\)

  4. \(x = 2 - 3t;\; y = 3 - t,\; t \in \mathbb{R}\)

  5. \(x = 3 - t;\; y = 1 + 2t,\; t \in \mathbb{R}\)

Uhol priamok

Úloha 23

Zistite uhol dvoch vektorov \(\vec{a} = (3;\, 1)\) a \(\vec{b} = (-2;\, 3)\).

Úloha 24

Zistite uhol dvoch priamok zadaných bodom a smerovým vektorom:

Priamka \(a\): prechádza bodom \(A = [6; -1]\), smerový vektor \(\vec{u} = (3;\, 1)\)

Priamka \(b\): prechádza bodom \(B = [2; 2]\), smerový vektor \(\vec{v} = (-2;\, 3)\)

Aký je rozdiel medzi uhlom vektorov a uhlom priamok, ktoré majú tieto smerové vektory?

Úloha 25 (2012/10)

Daná je priamka \(p\) určená rovnicou \(y = \dfrac{7}{2}x + 2012\). Vypočítajte v stupňoch veľkosť uhla priamky \(p\) s osou \(y\).

Kolmosť priamok

Úloha 26 (2008B/25)

Ktorá z nasledujúcich priamok je kolmá na priamku \(2x + y + 1 = 0\) a prechádza bodom \(A[4; 0]\)?

  1. \(y=-\dfrac{1}{2}x+2\)
  2. \(y=\dfrac{1}{2}x-2\)
  3. \(y=-2x+8\)
  4. \(y=2x-8\)
  5. \(y=\dfrac{1}{2}x+2\)

Úloha 27 (2005A/11)

Pre akú hodnotu \(a\) sú priamky \(p: ax - 6y + 2 = 0\) a \(q: 3x + 8y + a = 0\) navzájom kolmé?

Úloha 28 (2024/29)

Dané sú dve priamky \(p: x + 2y + 10 = 0\) a \(q: ax + by + 5 = 0\). Pre ktorú dvojicu koeficientov \([a;\, b]\) budú priamky rovnobežné, ale nie totožné?

  1. \([2;\, 1]\)   (B) \([0{,}5;\, 1]\)   (C) \([-13;\, -11]\)   (D) \([0{,}5;\, 4]\)   (E) \([-10;\, -20]\)

Príklady - príprava na maturitu

Riešenie úloh

Pripravila: Mgr. Dana Kozáková - hodinová učiteľka