Zbierka úloh z externej maturity

Analytická geometria

Vektory

Úloha 1

Zapíšte súradnice zobrazených vektorov.

Úloha 2

Graficky aj numericky zistite: \(\vec a = (1, 3)\), \(\vec b = (4, 0)\)

\(\vec w = 2\vec a + \vec b\)

\(\vec w = 2\vec a - \vec b\)

\(\vec w = \vec a - 2\vec b\)

Úloha 3

Aké sú súradnice bodu L, ak \(\vec{w} = \vec{KL}\) a bod \(K\) má súradnice \(K[2;\, 2]\)?

Poznámka: súradnice vektora \(\vec{w}\) sú z Úlohy 2 (z grafu)

Úloha 4

Aké budú súradnice \(N\), ak \(\vec{MN} \parallel \vec{v}\), \(\vec{v} = (-1, 3)\), \(M = [-1; 5]\) a \(|MN| = 2 \cdot |\vec{v}|\)?

Úloha 5

Zistite, či tri body ležia na jednej priamke:

  1. \(A[-3, 2]\), \(B[-7, -4]\), \(C[-1, 5]\)

  2. \(A[4, 5]\), \(B[-2, 8]\), \(C[7, -1]\)

  3. \(A[3, -2, 4]\), \(B[7, 0, -2]\), \(C[1, -3, 7]\)

  4. \(A[7, -1, 3]\), \(B[5, 2, 2]\), \(C[1, 8, 1]\)

Úloha 6

Rozhodnite, či body A, B, C, D ležia v rovine alebo na priamke:

  1. \(A[2, 5, 7]\), \(B[1, 1, 2]\), \(C[1, 3, 4]\), \(D[3, 5, 8]\)

  2. \(A[1, 2, 3]\), \(B[1, 2, 4]\), \(C[3, 1, 4]\), \(D[2, 1, 4]\)

  3. \(A[1, 2, 3]\), \(B[2, 1, 8]\), \(C[2, 1, 1]\), \(D[2, 11, 9]\)

Úloha 7 (2009/17)

Body \(A[-2; 6]\) a \(B[-4; -2]\) sú vrcholy rovnobežníka \(ABCD\), ktorého uhlopriečky sa pretínajú v bode \(S[0; 0]\). Určte súradnice vrcholov \(C\) a \(D\). Do odpoveďového hárka zapíšte aritmetický priemer všetkých súradníc bodov \(C\) a \(D\).

Úloha 8 (2005A/16)

Jednu základňu lichobežníka \(ABCD\) tvoria body \(A[2; 4]\) a \(B[3; 6]\), druhú body \(C[1; 5]\) a \(D[e; f]\). Určte číslo \(e\), ak viete, že \(\vec{DC} = 2 \cdot \vec{AB}\).

Skalárny súčin vektorov

Úloha 9 (2009/2)

Dané sú vektory \(\vec{a} = (3;\, -1)\), \(\vec{b} = (-2;\, m)\). Určte druhú súradnicu \(m\) vektora \(\vec{b}\) tak, aby \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 3\).

Úloha 10

Dané sú body \(A\), \(B\). Nájdite bod \(M\) na osi x tak, aby \(\vec{AM} \cdot \vec{BM} = 0\).

  1. \(A[0, 1]\), \(B[5, -6]\)

  2. \(A[0, 1, 3]\), \(B[5, 3, 3]\)

Úloha 11

Vypočítajte uhol \(\alpha\) pri vrchole \(A\) v trojuholníku \(ABC\).

\(A[0;\, 1]\), \(B[-1;\, 2]\), \(C[1;\, 3]\)

Vektorový súčin vektorov

Úloha 12

Určte vektor, ktorý je kolmý na oba vektory \(\vec{u}=(1;\ -1;\ 2)\) a \(\vec{v}=(3\ ;1\ ;1)\) a zároveň má veľkosť 10.

Úloha 13 (2015/19)

Dané sú body \(A[-1; 1]\) a \(B[3; -2]\). Určite reálne číslo \(c\) v súradniciach bodu \(C[c;\, c]\) tak, aby bod \(C\) bol vrcholom pravouhlého trojuholníka \(ABC\) s pravým uhlom pri vrchole \(B\).

Príklady - príprava na maturitu

Riešenie úloh

Pripravila: Mgr. Dana Kozáková - hodinová učiteľka