Zbierka úloh z externej maturity

Goniometrické funkcie a rovnice

Goniometrické rovnice

Úloha 1 (2013/21)

Určte počet koreňov rovnice \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) patriacich do intervalu (− \(570^{\circ}\); \(570^{\circ}\)).

  1. 3   (B) 4   (C) 5   (D) 6   (E) 7

Úloha 2 (2015/17)

Vypočítajte v stupňoch súčet všetkých koreňov rovnice \(\cos x = \frac{1}{2}\) z intervalu \((0^{\circ}; 540^{\circ})\).

Úloha 3 (2011/10)

Určte korene rovnice \(\cos x = \cos 12^{\circ}\) z intervalu \(\langle -90^{\circ};\, 360^{\circ} \rangle\). Do odpoveďového hárka zapíšte súčet koreňov tejto rovnice z daného intervalu.

Úloha 4 (2024/10)

Vypočítajte v stupňoch koreň rovnice \(\sin x = 3 \cos x\), ak \(x \in \langle 0^{\circ}\); \(180^{\circ} \rangle\).

Úloha 5

Urč podmienky pre a, b, aby nasledujúce rovnice mali riešenie.

\(a \cdot \cos x = b\)

\(a \cdot \sin x + b = 0\)

\(a \cdot \text{cotg}\, x = b\)

\(a \cdot \text{tg}\, x + b = 0\)

Úloha 6 (2010/7)

Určte najmenšie prirodzené číslo \(p\), pre ktoré rovnica \(2 \sin x = p\) nemá riešenie.

Úloha 7 (2012/19)

Určte korene rovnice \(\sin 2x = \sin x\) z intervalu \(x \in (0^{\circ}; 360^{\circ})\). Do odpoveďového hárka zapíšte v stupňoch súčet všetkých koreňov tejto rovnice z daného intervalu.

Úloha 8 (2025/9)

Nájdite druhý koreň rovnice \(\sin 2x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) na intervale \(x \in \left\langle 0,\, \dfrac{\pi}{2} \right\rangle\), ak prvý koreň je \(\dfrac{\pi}{8}\). Rovnicu riešte v radiánoch. Výsledok zapíšte ako desatinné číslo.

Úloha 9 (2009/24)

Koľko priesečníkov má graf funkcie \(f: y = \sin 2x\) s osou x na intervale \(\langle 0; 3\pi \rangle\)?

  1. 7   (B) 6   (C) 5   (D) 3   (E) 2

Úloha 10 (2025/27)

Koľko riešení na intervale \(\langle -2 \pi; 2 \pi \rangle\) má rovnica \(\cos 3x − \cos x = 0\)?

  1. 4   (B) 6   (C) 7   (D) 8   (E) 9

Úloha 11 (2024/8)

Dané sú funkcie \(f: y = -2\cos x\) a \(g: y = -1\). Zistite, koľko spoločných bodov majú grafy týchto funkcií na intervale \(\langle -\pi; 3\pi \rangle\).

Úloha 12 (fri 2017/21)

Rovnica \(\cos x + \cos(-x) = -1\) na intervale \(\langle 0; 2\pi \rangle\)

  1. nemá korene

  2. má jeden koreň

  3. má dva korene, ktorých súčet je \(\pi\)

  4. má dva korene, ktorých súčet je \(2\pi\)

Úloha 13 (K26)

Aký je aritmetický priemer koreňov rovnice \(\sin^2 x - \cos^2 x + \sin x = 0\) v intervale \(\langle 0; 2\pi \rangle\)?

  1. \(\dfrac{\pi}{2}\)   (B) \(\dfrac{3\pi}{4}\)   (C) \(\dfrac{5\pi}{6}\)   (D) \(\dfrac{5\pi}{3}\)

Úloha 14 (K27)

Ktorá z uvedených rovníc nemá v obore reálnych čísel žiadne riešenia?

  1. \(100 \sin x > 99\)

  2. \(\cos^2 x - \sin^2 x > 1\)

  3. \(\sin x \cdot \cos x > \dfrac{1}{2}\)

  4. \(|\sin x| \geq 1\)

Úloha 15 (K22)

Ktorá z uvedených rovníc má v intervale \(\langle 0; \pi \rangle\) práve štyri riešenia?

  1. \(\text{tg}\,\dfrac{x}{2} = 4\)   (B) \(\text{tg}\,\dfrac{x}{4} = 2\)   (C) \(\text{tg}\, 2x = 4\)   (D) \(\text{tg}\, 4x = 2\)

Úloha 16 (K23)

Koľko riešení má rovnica \(\text{cotg}\left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\) v intervale \(\langle 0; 2\pi \rangle\)?

  1. 8   (B) 4   (C) 2   (D) 0

Rôzne

Úloha 17 (2019/30)

Daná je funkcia \(f(x) = \dfrac{1}{\cos 2x}\). Určte jej definičný obor.

  1. \(\mathbb{R} - \left\{\dfrac{(2k+1)\pi}{4}\right\}, k \in \mathbb{Z}\)

  2. \(\mathbb{R} - \left\{\dfrac{(2k+1)\pi}{2}\right\}, k \in \mathbb{Z}\)

  3. \(\mathbb{R} - \left\{(2k+1)\pi\right\}, k \in \mathbb{Z}\)

  4. \(\mathbb{R} - \left\{\dfrac{k\pi}{2}\right\}, k \in \mathbb{Z}\)

  5. \(\mathbb{R} - \left\{k\pi\right\}, k \in \mathbb{Z}\)

Úloha 18 (2023/8)

Daná je funkcia \(f(x) = 2 \cos(x)\) a funkcia \(g(x) = 3x – 11\). Vypočítajte funkčnú hodnotu zloženej funkcie \(g(f(x))\) pre \(x = 0\).

Príklady - príprava na maturitu

Riešenie úloh - TBA | Riešenie úloh pre mojich študentov - FREE - TBA

Pripravila: Mgr. Dana Kozáková - hodinová učiteľka