Zbierka úloh z externej maturity

9. Planimetria

9 Vpísaná a opísaná kružnica trojuholníku

Opísaná kružnica trojuholníku

Úloha 1 (23 - 2007 AB)

Existuje pre každý trojuholník ABC bod, ktorý má rovnakú vzdialenosť od všetkých troch jeho vrcholov A, B, C?

• 1. Áno, je to priesečník výšok trojuholníka ABC.
• 2. Áno, je to priesečník osí uhlov trojuholníka ABC.
• 3. Áno, je to priesečník ťažníc trojuholníka ABC.
• 4. Áno, je to priesečník osí strán trojuholníka ABC.
• 5. Nie, taký bod nemusí existovať.

Úloha 2 (L04)

O pravouhlom trojuholníku ABC s rôznymi dĺžkami odvesien vieme, že jeho najdlhšia výška meria 8 cm a jeho druhá najdlhšia výška meria 6 cm. Aký polomer má kružnica opísaná tomuto trojuholníku?

• 1. 5 cm
• 2. 7 cm
• 3. 10 cm
• 4. Bez ďalších informácií o trojuholníku ABC nemožno polomer určiť.

Úloha 3 (L23)

Aký polomer má najmenší kruh, ktorým možno úplne zakryť rovnostranný trojuholník so stranou dlhou 12 cm?

• 1. \(2\sqrt{3}\) cm
• 2. \(4\sqrt{3}\) cm
• 3. 6 cm
• 4. 8 cm

Úloha 4 (fri 2016/39)

Do kružnice k je vpísaný geometrický útvar, ktorý sa skladá z pravidelného šesťuholníka a šiestich rovnostranných trojuholníkov (obr.). Strana trojuholníka má dĺžku 4. Aký je polomer r tejto kružnice?

• 1. \(2\sqrt{3}\)
• 2. \(2\sqrt{5}\)
• 3. \(4\sqrt{3}\)
• 4. \(4\sqrt{5}\)

Úloha 5 (11)

O istom trojuholníku vieme, že priamky, na ktorých ležia jeho výšky, sa pretínajú na obvode trojuholníka a že polomer kružnice opísanej tomuto trojuholníku je 12. Aká je vzdialenosť ťažiska trojuholníka od stredu kružnice opísanej tomuto trojuholníku?

• 1. 4
• 2. \(4\sqrt{2}\)
• 3. 8
• 4. bez ďalších údajov nemožno určiť

Úloha 6 (L08)

O istom trojuholníku vieme, že jeho dve najkratšie strany majú dĺžky 18 a 24 a že súčin týchto dĺžok sa rovná dvojnásobku obsahu trojuholníka. Aká je vzdialenosť ťažiska trojuholníka od stredu kružnice opísanej tomuto trojuholníku?

• 1. 5
• 2. \(5\sqrt{2}\)
• 3. 10
• 4. Bez ďalších údajov nemožno vzdialenosť určiť.

Vpísaná kružnica trojuholníku

Úloha 7 (439)

Trojuholník ABC má obvod 60 cm a polomer kružnice vpísanej do tohto trojuholníka je 4 cm. Aký je obsah trojuholníka ABC?

• 1. 60 cm²
• 2. 120 cm²
• 3. 240 cm²
• 4. Bez ďalších údajov nemožno obsah určiť.

Úloha 8 (09)

Odvesny pravouhlého trojuholníka majú dĺžku 15 a 8. Vypočítajte polomer r kružnice vpísanej do tohto trojuholníka.

Úloha 9 (L15)

Ostrovček Triple Beach má tvar trojuholníka a je zvláštny tým, že je to úplná rovina. Jeho pobrežie, tvorené tromi rovnými plážami, má celkovú dĺžku 90 km. Hotel Panorama je od každej z troch pláží vzdialený vzdušnou čiarou 4 km. Akú rozlohu má ostrovček Triple Beach?

• 1. 120 km²
• 2. 180 km²
• 3. 240 km²
• 4. 360 km²

Úloha 10 (10)

Ramená rovnoramenného trojuholníka majú zhodnú dĺžku 10 cm a základňa má dĺžku 12 cm. Určte v centimetroch polomer kružnice vpísanej tomuto trojuholníku.

Úloha 11 (2015/18)

Do rovnoramenného trojuholníka so základňou dlhou 2 cm a výškou na základňu dlhou 6 cm je vpísaná kružnica. Vypočítajte v centimetroch polomer vpísanej kružnice.

Úloha 12 (21)

V rovnoramennom trojuholníku ABC so základňou AB platí |AB| = 4, \(|\angle CAB|\) = 70°. Potom polomer kružnice vpísanej do trojuholníka ABC (s presnosťou na dve desatinné miesta) je

• 1. 1,15
• 2. 1,40
• 3. 1,45
• 4. 1,50
• 5. 1,64

Úloha 13 (2018/18)

Je daný rovnoramenný trojuholník ABC so základňou AB. Výška na základňu je šesťnásobkom polomeru vpísanej kružnice. Vypočítajte v stupňoch veľkosť vnútorného uhla ACB.

Úloha 14 (L19)

Veľkosti vnútorných uhlov trojuholníka KLM sú v pomere 2 : 3 : 4. Do tohto trojuholníka je vpísaná kružnica k. Body dotyku kružnice k so stranami trojuholníka delia kružnicu na tri oblúky. Dĺžky týchto oblúkov sú v pomere

• 1. 5 : 6 : 7
• 2. 4 : 5 : 6
• 3. 3 : 5 : 7
• 4. 2 : 3 : 4

Príklady - príprava na maturitu

Riešenie úloh - TBA | Riešenie úloh pre mojich študentov - FREE - TBA

Pripravila: Mgr. Dana Kozáková - hodinová učiteľka