Zbierka úloh z externej maturity

9. Planimetria

9c. Kružnica, dotyčnica, Stredový a obvodový uhol

Úloha 1 (2005A/10)

Obvodový uhol patriaci k oblúku AB kružnice s polomerom 4 cm má veľkosť 50°. Aká je vzdialenosť tetivy AB od stredu S tejto kružnice? Výsledok uveďte v centimetroch s presnosťou na dve desatinné miesta.

Úloha 2 (2004A/19)

V pravidelnom 18-uholníku \(A_1A_2 \ldots A_{18}\) určte (v stupňoch) veľkosť uhla \(A_1A_9A_2\).

Úloha 3 (2008A/3)

Vypočítajte veľkosť menšieho z uhlov, ktorý určujú priamky \(A_1A_4\) a \(A_2A_{10}\) v pravidelnom dvanásťuholníku \(A_1A_2A_3 \ldots A_{12}\). Výsledok uveďte v stupňoch.

Úloha 4 (fri 2016/38)

Body E, F, G ležia na kružnici k a delia ju na kružnicové oblúky v pomere 2 : 1 : 3. Akú veľkosť majú vnútorné uhly trojuholníka EFG?

• 1. 75°, 60°, 45°
• 2. 90°, 75°, 15°
• 3. 90°, 45°, 45°
• 4. 90°, 60°, 30°

Úloha 5

Bod V je vzdialený 25 cm od stredu kružnice k, ktorá má polomer 10 cm. Bodom V môžeme viesť dve dotyčnice ku kružnici k. Akú veľkosť (s presnosťou na stotiny stupňa) má uhol α, ktorý zvierajú tieto dotyčnice?

• 1. α = 132,84°
• 2. α = 66,42°
• 3. α = 47,16°
• 4. α = 43,60°
• 5. α = 23,58°

Úloha 6 (2017/20)

Gotický štvorlístok je ornament, v ktorom sú do väčšej kružnice vpísané štyri rovnaké dotýkajúce sa menšie kružnice. Polomer veľkej kružnice je jeden meter. Vypočítajte polomer menšej kružnice.

Úloha 7 (fri 2016/41)

Na obrázku je medzikružie, do ktorého je vpísaný rovnostranný trojuholník tak, že jeho vrcholy ležia na vonkajšej kružnici a strany sa dotýkajú vnútornej kružnice. V akom pomere sú polomery kružníc?

• 1. 2:1
• 2. 3:1
• 3. 3:2
• 4. 4:3

Úloha 8 (fri 2016/39)

Do kružnice je vpísaný geometrický útvar, ktorý sa skladá z pravidelného šesťuholníka a šiestich rovnostranných trojuholníkov. Strana trojuholníka má dĺžku 4. Aký je polomer r tejto kružnice?

• 1. \(4\sqrt{3}\)
• 2. \(8\)
• 3. \(4\sqrt{2}\)
• 4. \(6\)

Úloha 9 (116)

Na obrázku je kružnica k, na obvode ktorej sú zvolené štyri body A, B, C, D. Úsečka AB je priemerom kružnice. Ak uhol ABC meria 35°, aká veľkosť má uhol CDB?

• 1. 35°
• 2. 45°
• 3. 55°
• 4. Veľkosť uhla nemožno určiť, ak nepoznáme presnú polohu bodu D

Úloha 10 (219)

Akú dlhú stranu má najväčší rovnostranný trojuholník, ktorý možno vpísať do kruhu s priemerom 20 cm?

• 1. \(10\sqrt{3}\) cm
• 2. \(10\sqrt{2}\) cm
• 3. \(5\sqrt{3}\) cm
• 4. \(5\sqrt{2}\) cm

Úloha 11 (301)

Kružnica k s dĺžkou 24 cm je vpísaná do trojuholníka KLM, ktorého vnútorný uhol MKL má veľkosť 30°. Označme A bod dotyku kružnice k so stranou KL, B bod dotyku kružnice k so stranou KM. Dĺžka väčšieho kruhového oblúka s koncovými bodmi A, B je:

• 1. 8 cm
• 2. 11 cm
• 3. 14 cm
• 4. 17 cm

Úloha 12 (439)

Trojuholník ABC má obvod 60 cm a polomer kružnice vpísanej do tohto trojuholníka je 4 cm. Aký je obsah trojuholníka ABC?

• 1. 60 cm²
• 2. 120 cm²
• 3. 240 cm²
• 4. Bez ďalších údajov nemožno obsah určiť.

Úloha 13 (442)

Na obrázku je kružnica k, ku ktorej je z bodu B zostrojená dotyčnica t s bodom dotyku T. Ak priamka AB prechádza stredom kružnice, potom bez ohľadu na polohu bodu B pre veľkosti uhlov α, β platí:

• 1. β = 90° - 2α
• 2. β = 90° - α
• 3. β = 90° - \(\frac{α}{2}\)
• 4. β = α

Príklady - príprava na maturitu

Riešenie úloh - TBA | Riešenie úloh pre mojich študentov - FREE - TBA

Pripravila: Mgr. Dana Kozáková - hodinová učiteľka