Rovnice a nerovnice s absolútnou hodnotou

Materiál pripravila: hodinovaucitelka.sk

Definícia absolútnej hodnoty

Absolútna hodnota reálneho čísla x je vzdialenosť čísla x od nuly na číselnej osi.

\[ |x| = \begin{cases} x & \text{ak } x \geq 0 \\ -x & \text{ak } x < 0 \end{cases} \]

Základné vzorce pre rovnice

Rovnica typu |x| = a

  • Ak a > 0:   x = a   alebo   x = −a
  • Ak a = 0:   x = 0
  • Ak a < 0:   rovnica nemá riešenie (∅)

Rovnica typu |x − b| = a

Geometrický význam: hľadáme body na číselnej osi, ktoré majú od bodu b vzdialenosť a.

  • Ak a > 0:   x = b + a   alebo   x = b − a
  • Ak a = 0:   x = b
  • Ak a < 0:   rovnica nemá riešenie (∅)

Zadania

Sada 1: Rovnice typu |x| = a

Riešenia znázorni na číselnej osi.

  1. |x| = 4
  2. |x| = 1
  3. |x| = 7
  4. |x| = 0
  5. |x| = −2
  6. |x| = −5

Sada 2: Rovnice typu |x − a| = b

Riešenia znázorni na číselnej osi.

  1. |x − 1| = 3
  2. |x − 2| = 1
  3. |x − 4| = 5
  4. |x − 7| = 2
  5. |x − 3| = 0
  6. |x − 11| = 0
  7. |x − 2| = −3
  8. |x − 5| = −5

Sada 3: Rovnice typu |x − (−a)| = b

Riešenia znázorni na číselnej osi.

  1. |x − (−3)| = 2
  2. |x − (−5)| = 8
  3. |x − (−1)| = 1
  4. |x − (−4)| = 6
  5. |x − (−2)| = 0
  6. |x − (−7)| = 0
  7. |x − (−2)| = −1
  8. |x − (−6)| = −4

Sada 4: Rovnice typu |x + a| = b

Riešenia znázorni na číselnej osi.

  1. |x + 3| = 1
  2. |x + 1| = 8
  3. |x + 5| = 5
  4. |x + 4| = 6
  5. |x + 2| = 0
  6. |x + 9| = 0
  7. |x + 2| = −4
  8. |x + 1| = −3

Sada 5: Zmiešané rovnice

  1. |x − 9| = 0
  2. |x + 1| = -5
  3. |x + 2| = 4
  4. |x − 1| = 8
  5. |x − 4| = 1
  6. |8 − x| = 1

Riešenia

Sada 1

  1. |x| = 4
    x = 4 alebo x = −4
    K = {−4; 4}

  2. |x| = 1
    x = 1 alebo x = −1
    K = {−1; 1}

  3. |x| = 7
    x = 7 alebo x = −7
    K = {−7; 7}

  4. |x| = 0
    x = 0
    K = {0}

  5. |x| = −2
    Absolútna hodnota nemôže byť záporná.
    K = ∅

  6. |x| = −5
    Absolútna hodnota nemôže byť záporná.
    K = ∅

Sada 2

  1. |x − 1| = 3
    x − 1 = 3 → x = 4
    x − 1 = −3 → x = −2
    K = {−2; 4}

  2. |x − 2| = 1
    x − 2 = 1 → x = 3
    x − 2 = −1 → x = 1
    K = {1; 3}

  3. |x − 4| = 5
    x − 4 = 5 → x = 9
    x − 4 = −5 → x = −1
    K = {−1; 9}

  4. |x − 7| = 2
    x − 7 = 2 → x = 9
    x − 7 = −2 → x = 5
    K = {5; 9}

  5. |x − 3| = 0
    x − 3 = 0 → x = 3
    K = {3}

  6. |x − 11| = 0
    x − 11 = 0 → x = 11
    K = {11}

  7. |x − 2| = −3
    Absolútna hodnota nemôže byť záporná.
    K = ∅

  8. |x − 5| = −5
    Absolútna hodnota nemôže byť záporná.
    K = ∅

Sada 3

  1. |x − (−3)| = 2
    x − (−3) = 2 → x + 3 = 2 → x = −1
    x − (−3) = −2 → x + 3 = −2 → x = −5
    K = {−5; −1}

  2. |x − (−5)| = 8
    x − (−5) = 8 → x + 5 = 8 → x = 3
    x − (−5) = −8 → x + 5 = −8 → x = −13
    K = {−13; 3}

  3. |x − (−1)| = 1
    x − (−1) = 1 → x + 1 = 1 → x = 0
    x − (−1) = −1 → x + 1 = −1 → x = −2
    K = {−2; 0}

  4. |x − (−4)| = 6
    x − (−4) = 6 → x + 4 = 6 → x = 2
    x − (−4) = −6 → x + 4 = −6 → x = −10
    K = {−10; 2}

  5. |x − (−2)| = 0
    x − (−2) = 0 → x + 2 = 0 → x = −2
    K = {−2}

  6. |x − (−7)| = 0
    x − (−7) = 0 → x + 7 = 0 → x = −7
    K = {−7}

  7. |x − (−2)| = −1
    Absolútna hodnota nemôže byť záporná.
    K = ∅

  8. |x − (−6)| = −4
    Absolútna hodnota nemôže byť záporná.
    K = ∅

Sada 4

  1. |x + 3| = 1
    x + 3 = 1 → x = −2
    x + 3 = −1 → x = −4
    K = {−4; −2}

  2. |x + 1| = 8
    x + 1 = 8 → x = 7
    x + 1 = −8 → x = −9
    K = {−9; 7}

  3. |x + 5| = 5
    x + 5 = 5 → x = 0
    x + 5 = −5 → x = −10
    K = {−10; 0}

  4. |x + 4| = 6
    x + 4 = 6 → x = 2
    x + 4 = −6 → x = −10
    K = {−10; 2}

  5. |x + 2| = 0
    x + 2 = 0 → x = −2
    K = {−2}

  6. |x + 9| = 0
    x + 9 = 0 → x = −9
    K = {−9}

  7. |x + 2| = −4
    Absolútna hodnota nemôže byť záporná.
    K = ∅

  8. |x + 1| = −3
    Absolútna hodnota nemôže byť záporná.
    K = ∅

Sada 5

  1. |x − 9| = 0
    x − 9 = 0 → x = 9
    K = {9}

  2. |x + 1| = 5
    x + 1 = 5 → x = 4
    x + 1 = −5 → x = −6
    K = {−6; 4}

  3. |x + 2| = 4
    x + 2 = 4 → x = 2
    x + 2 = −4 → x = −6
    K = {−6; 2}

  4. |x − 1| = 8
    x − 1 = 8 → x = 9
    x − 1 = −8 → x = −7
    K = {−7; 9}

  5. |x − 4| = 1
    x − 4 = 1 → x = 5
    x − 4 = −1 → x = 3
    K = {3; 5}

  6. |8 − x| = 1 8 − x = 1 → x = 7
    8 − x = −1 → x = 9
    K = {7; 9}

Pokračuj ďalej

Keď zvládneš tieto základné rovnice, môžeš pokračovať na pokročilejšiu tému:

→ Lineárne rovnice s absolútnou hodnotou (metóda nulových bodov)

Ďalšie materiály nájdeš na hodinovaucitelka.sk