Zbierka úloh z externej maturity

Goniometrické funkcie a rovnice

Graf a vlastnosti goniometrickej funkcie

Úloha 1

Zobraz grafy:

Sínus

\(f: y = 3 \cdot \sin x\)

\(g: y = \sin (3x)\)

\(h: y = \sin(x - \frac{\pi}{3})\)

\(i: y = \sin x + 2\)

\(j: y = -2 \cdot \sin(x) + 1\)

Kosínus

\(f: y = 3 \cdot \cos x\)

\(g: y = \cos (3x)\)

\(h: y = \cos(x - \frac{\pi}{3})\)

\(i: y = \cos x + 2\)

\(j: y = -2 \cdot \cos(x) + 1\)

Tangens

\(f: y = 3 \cdot \text{tg}\, x\)

\(g: y = 3 \cdot \text{tg}\, x\)

\(h: y = \text{tg}(x - \pi)\)

\(i: y = \text{tg}\, x + 2\)

\(j: y = -2 \cdot \text{tg}(x) + 1\)

Kotangens

\(f: y = 3 \cdot \text{cotg} x\)

\(g: y = 3 \cdot \text{cotg}\, x\)

\(h: y = \text{cotg}(x - \pi)\)

\(i: y = \text{cotg}\, x + 2\)

\(j: y = -2 \cdot \text{cotg}(x) + 1\)

Úloha 2

Vyplňte tabuľku. Označte, či príslušná funkcia má danú vlastnosť alebo nie:

vlastnosť \(\sin x\) \(\cos x\) \(\text{tg}\, x\) \(\text{cotg}\, x\)
periodická
perióda π
perióda 2π
zhora ohraničená
zdola ohraničená
ohraničená
má minimum
má maximum
rastúca
klesajúca
monotónna
párna
nepárna

—

Úloha 3

Ktoré z uvedených tvrdení o funkcii \(f: y = \cos x\) je nepravdivé?

  1. je klesajúca na intervale \((0, \pi)\)
  2. je zdola ohraničená
  3. je periodická
  4. je nepárna
  5. je zhora ohraničená

Úloha 4

Ktoré z uvedených tvrdení o funkcii \(f: y = \text{cotg}\, x\) je nepravdivé?

  1. nie je zhora ohraničená
  2. je periodická
  3. je klesajúca
  4. nie je zdola ohraničená
  5. je nepárna

Úloha 5 (fri 2017/30)

Vyberte jednu správne tvrdenie: „Graf funkcie \(f: y = - \sin x\) je obrazom funkcie \(g: y = \cos x\) ..”

  1. v osovej súmernosti podľa osi \(y\)
  2. v osovej súmernosti podľa osi \(x\)
  3. v stredovej súmernosti podľa bodu \([0 ; 0]\)
  4. v posunutí o vektor \(\vec{u} = \left(-\dfrac{\pi}{2};\, 0\right)\)

Úloha 6 (fri 2016/29)

Akú rovnicu má funkcia g, ktorá je súmerná s funkciou \(f: y = \cos x + 1\) podľa osi \(y = 1\)?

  1. \(y = \cos x – 1\)
  2. \(y = \cos x + 2\)
  3. \(y = -\cos x – 1\)
  4. \(y = -\cos x + 1\)

Úloha 7 (2015/9)

Na obrázku je zobrazená časť grafu funkcie \(f: y = 3 \cdot \sin(x + 65^{\circ})\) a bod A, v ktorom graf funkcie f prvýkrát nadobúda maximum na množine kladných reálnych čísel. Určite v stupňoch x-ovú súradnicu bodu A.

Úloha 8 (2014/30)

Dané sú funkcie f1 až f5:

\(f_1: y = \cos\!\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right)\)

\(f_2: y = -\cos\!\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)\)

\(f_3: y = -\cos\!\left(x - \dfrac{3\pi}{2}\right)\)

\(f_4: y = -\cos\!\left(x + \dfrac{3\pi}{2}\right)\)

\(f_5: y = -\sin(-x)\)

Štyri z piatich daných funkcií \(f_1\) až \(f_5\) majú po zakreslení do jednej súradnicovej sústavy totožný, navzájom sa prekrývajúci graf. Odlišný graf má funkcia:

  1. f1   (B) f2   (C) f3   (D) f4   (E) f5

Úloha 9 (2008A/7, 2008B/9)

Na obrázku je načrtnutý graf funkcie \(f: y = a \cdot \sin 2x + b\). Jej obor hodnôt je interval \(\langle 1;\, 7 \rangle\). Vypočítajte hodnotu čísla b.

Úloha 10 (2019/23)

Funkcia \(f(x) = 5\sin\!\left(6x + \dfrac{\pi}{4}\right) + 2\) je periodická. Jej perióda je:

  1. π/2

  2. π/3

  3. π/4

  4. π/5

  5. π/6

Úloha 11 (2009/30)

Daná je funkcia \(f: y = \cos\!\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) - 3\). Funkcia \(g\), ktorej graf je súmerný s grafom funkcie \(f\) podľa začiatku súradnicovej sústavy, je určená rovnicou.

  1. \(y = -\cos\!\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) + 3\)
  2. \(y = \cos\!\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right) + 3\)
  3. \(y = -\cos\!\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right) + 3\)
  4. \(y = \cos\!\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right) - 3\)
  5. \(y = -\cos\!\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) - 3\)

Úloha 12

Aký obor hodnôt budú mať funkcie?

  1. \(f: y = \sin 2x\)
  2. \(g: y = \cos \dfrac{x}{3}\)
  3. \(h: y = \dfrac{\sin x}{5}\)
  4. \(k: y = -2 \cdot \sin x + 7\)
  5. \(m: y = 5 - \cos(x + \pi)\)

Úloha 13

Zapíš obor hodnôt nasledujúcich funkcií pomocou neznámych a, b, c, d:

  1. \(f: y = \sin(ax)\)
  2. \(f: y = b \cdot \sin x\)
  3. \(f: y = \cos x + c\)
  4. \(f: y = -d \cdot \cos x\)
  5. \(f: y = a \cdot \sin(bx + c) - d\)

Úloha 24 (2024/22)

Graf ktorej z nasledujúcich funkcií má na intervale ⟨0, 2π⟩ najviac priesečníkov s osou x?

  1. \(f_1: y = 2 + \sin(x)\)
  2. \(f_2: y = 2 \sin(x)\)
  3. \(f_3: y = \sin \left( \frac{x}{2} \right)\)
  4. \(f_4: y = sin\left (2x \right)\)
  5. \(f_5: y = sin(x)\)

Príklady - príprava na maturitu

Riešenie úloh | Riešenie úloh pre mojich študentov - FREE

Pripravila: Mgr. Dana Kozáková - hodinová učiteľka