Metódou per partes vypočítajte neurčitý integrál: \[ \int e^x (4x + 7) \, dx \]
Metódou per partes vypočítajte neurčitý integrál: \[ \int e^x (5x + 2) \, dx \]
Metódou per partes vypočítajte neurčitý integrál: \[ \int e^x (4x + 7) \, dx \]
Použijeme metódu per partes, ktorej vzorec je \(\int u \cdot v' \, dx = u \cdot v - \int u' \cdot v \, dx\).
\[ \begin{vmatrix} \color{blue}{\mathbf{u}} & \color{green}{\mathbf{u'}} \\ \color{brown}{\mathbf{v'}} & \color{red}{\mathbf{v}} \end{vmatrix} \]
\[ \int \color{brown}{\mathbf{u}} \color{blue}{\mathbf{v'}} \, dx = \color{blue}{\mathbf{u}} \cdot \color{red}{\mathbf{v}} - \int \color{green}{\mathbf{u'}} \cdot \color{red}{\mathbf{v}} \, dx \]
Zvolíme si polynóm pre derivovanie (\(u\)) a exponenciálnu funkciu pre integrovanie (\(v'\)):
\[ \begin{vmatrix} \color{blue}{\mathbf{u = 4x + 7}} & \color{green}{\mathbf{u' = 4}} \\ \color{brown}{\mathbf{v' = e^x}} & \color{red}{\mathbf{v = e^x}} \end{vmatrix} \]
Dosadíme do vzorca: \[ \int \color{brown}{\mathbf{e^x}} \color{blue}{\mathbf{(4x + 7)}} \, dx = \color{blue}{\mathbf{(4x + 7)}} \cdot \color{red}{\mathbf{e^x}} - \int \color{green}{\mathbf 4} \cdot \color{red}{\mathbf{e^x}} \, dx \] \[ = e^x (4x + 7) - 4 \int e^x \, dx \] \[ = e^x (4x + 7) - 4e^x + C \]
Výsledok môžeme ešte upraviť vyňatím \(e^x\) pred zátvorku: \[ = e^x (4x + 7 - 4) + C = e^x (4x + 3) + C \]
Metódou per partes vypočítajte neurčitý integrál: \[ \int e^x (5x + 2) \, dx \]
Použijeme metódu per partes, ktorej vzorec je \(\int u \cdot v' \, dx = u \cdot v - \int u' \cdot v \, dx\). Zvolíme si polynóm pre derivovanie (\(u\)) a exponenciálnu funkciu pre integrovanie (\(v'\)):
\[ \begin{vmatrix} u = 5x + 2 & u' = 5 \\ v' = e^x & v = e^x \end{vmatrix} \]
Dosadíme do vzorca: \[ \int e^x (5x + 2) \, dx = (5x + 2) \cdot e^x - \int 5 \cdot e^x \, dx \] \[ = e^x (5x + 2) - 5 \int e^x \, dx \] \[ = e^x (5x + 2) - 5e^x + C \]
Výsledok môžeme ešte upraviť vyňatím \(e^x\) pred zátvorku: \[ = e^x (5x + 2 - 5) + C = e^x (5x - 3) + C \]
Viac k tejto téme na: https://hodinovaucitelka.sk/materialy_vysokoskolska_matematika.php
Je to pre Teba užitočné a oceníš ďalšie takéto materiály? Pomôcť mi môžeš príspevkom mi kávu cez https://www.buymeacoffee.com/hodinova
Ďakujem Dana Kozáková - hodinová učiteľka