Vypočítajte, aké množstvo \(x\) výrobkov \(V_1\) a množstvo \(y\) výrobkov \(V_2\) zabezpečí maximálny zisk, ak funkcia zisku má tvar: \[ TP(x, y) = 2x^2 + 160x - 3y^2 + 180y - 30 \]
Funkcia celkových nákladov je daná vzťahom: \[ TC(Q) = 2Q^2 + 19Q + 800 \]
Vypočítajte, aké množstvo \(x\) výrobku \(V_1\) a množstvo \(y\) výrobku \(V_2\) zabezpečí maximálny zisk, ak funkcia zisku má tvar: \[ TP(x, y) = 110x - 3x^2 - 2xy - 2y^2 + 140y + 200 \]
Vypočítajte, aké množstvo \(x\) výrobku \(V_1\) a množstvo \(y\) výrobku \(V_2\) zabezpečí maximálny zisk, ak funkcia zisku má tvar: \[ TP(x, y) = 140x - 2x^2 - 2xy - 3y^2 + 110y - 150 \]
Vypočítajte, aké množstvo \(x\) výrobkov \(V_1\) a množstvo \(y\) výrobkov \(V_2\) zabezpečí maximálny zisk, ak funkcia zisku má tvar: \[ TP(x, y) = 2x^2 + 160x - 3y^2 + 180y - 30 \]
Pre nájdenie extrému funkcie dvoch premenných musíme najprv nájsť stacionárne body, teda vypočítať prvé parciálne derivácie a položiť ich rovné nule:
Parciálna derivácia podľa \(x\): \[ \frac{\partial TP(x, y)}{\partial x} = 4x + 160 \] \[ 4x + 160 = 0 \Rightarrow 4x = -160 \Rightarrow x = -40 \]
Parciálna derivácia podľa \(y\): \[ \frac{\partial TP(x, y)}{\partial y} = -6y + 180 \] \[ -6y + 180 = 0 \Rightarrow 6y = 180 \Rightarrow y = 30 \]
Stacionárny bod sa nachádza v bode \([-40; 30]\).
Ďalej overíme, či sa v tomto bode nachádza lokálny extrém, pomocou druhých parciálnych derivácií a Hessiánu: \[ \frac{\partial^2 TP}{\partial x^2} = 4 \] \[ \frac{\partial^2 TP}{\partial y^2} = -6 \] \[ \frac{\partial^2 TP}{\partial x \partial y} = 0 \]
Hessián \(H\): \[ H = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & -6 \end{pmatrix} \]
Determinant \(H\): \[ |H| = 4 \cdot (-6) - 0 \cdot 0 = -24 \]
Pretože \(|H| < 0\) (determinant Hessiánu je záporný), funkcia v tomto bode nemá extrém, ale nachádza sa tu sedlový bod. Neexistuje teda kombinácia množstiev, ktorá by priniesla lokálne maximum zisku pre túto konkrétnu funkciu zisku.
Funkcia celkových nákladov je daná vzťahom: \[ TC(Q) = 2Q^2 + 19Q + 800 \]
a) Minimum priemerných nákladov
Najprv vyjadríme funkciu priemerných nákladov (Average Costs - \(AC\)), čo je \(TC(Q)\) vydelené množstvom \(Q\): \[ AC(Q) = \frac{TC(Q)}{Q} = \frac{2Q^2 + 19Q + 800}{Q} = 2Q + 19 + \frac{800}{Q} \]
Pre nájdenie minima funkcie \(AC(Q)\) ju zderivujeme a položíme rovno nule: \[ AC'(Q) = 2 - \frac{800}{Q^2} = 0 \] \[ 2 = \frac{800}{Q^2} \] \[ 2Q^2 = 800 \Rightarrow Q^2 = 400 \Rightarrow Q = 20 \] Priemerné náklady sú minimálne pri produkcii \(Q = 20\) kusov.
Minimálne priemerné náklady dosahujú hodnotu: \[ AC(20) = 2(20) + 19 + \frac{800}{20} = 40 + 19 + 40 = 99 \]
b) Marginálne náklady
Funkcia marginálnych náznacov (Marginal Costs - \(MC\)) je prvá derivácia funkcie celkových nákladov: \[ MC(Q) = TC'(Q) = \frac{d}{dQ} (2Q^2 + 19Q + 800) = 4Q + 19 \] Výsledná funkcia marginálnych nákladov je teda: \[ MC(Q) = 4Q + 19 \]
Vypočítajte, aké množstvo \(x\) výrobku \(V_1\) a množstvo \(y\) výrobku \(V_2\) zabezpečí maximálny zisk, ak funkcia zisku má tvar: \[ TP(x, y) = 110x - 3x^2 - 2xy - 2y^2 + 140y + 200 \]
Pre nájdenie extrému funkcie dvoch premenných musíme najprv nájsť stacionárne body, teda vypočítať prvé parciálne derivácie a položiť ich rovné nule:
1. Parciálna derivácia podľa \(x\): \[ \frac{\partial TP(x, y)}{\partial x} = 110 - 6x - 2y \] \[ 110 - 6x - 2y = 0 \] \[ -6x - 2y = -110 \quad / : (-2) \] \[ 3x + y = 55 \Rightarrow y = 55 - 3x \]
2. Parciálna derivácia podľa \(y\): \[ \frac{\partial TP(x, y)}{\partial y} = -2x - 4y + 140 \] \[ -2x - 4y + 140 = 0 \] \[ -2x - 4y = -140 \quad / : (-2) \] \[ x + 2y = 70 \]
3. Riešenie sústavy rovníc: Dosadíme vyjadrené \(y\) z prvej rovnice do druhej: \[ x + 2(55 - 3x) = 70 \] \[ x + 110 - 6x = 70 \] \[ -5x + 110 = 70 \] \[ -5x = -40 \] \[ x = 8 \]
Vypočítame \(y\): \[ y = 55 - 3(8) = 55 - 24 = 31 \]
Stacionárny bod sa nachádza v bode \([8; 31]\).
4. Overenie extrému: Ďalej overíme, či sa v tomto bode nachádza lokálne maximum, pomocou druhých parciálnych derivácií a Hessiánu: \[ \frac{\partial^2 TP}{\partial x^2} = -6 \] \[ \frac{\partial^2 TP}{\partial y^2} = -4 \] \[ \frac{\partial^2 TP}{\partial x \partial y} = -2 \]
Hessián \(H\): \[ H = \begin{pmatrix} -6 & -2 \\ -2 & -4 \end{pmatrix} \]
Determinant \(H\): \[ |H| = (-6) \cdot (-4) - (-2) \cdot (-2) = 24 - 4 = 20 \]
Pretože determinant \(|H| > 0\) a \(\frac{\partial^2 TP}{\partial x^2} = -6 < 0\), funkcia v tomto stacionárnom bode dosahuje lokálne maximum.
Zisk bude maximálny pri výrobe \(8\) kusov výrobku \(V_1\) a \(31\) kusov výrobku \(V_2\).
Vypočítajte, aké množstvo \(x\) výrobku \(V_1\) a množstvo \(y\) výrobku \(V_2\) zabezpečí maximálny zisk, ak funkcia zisku má tvar: \[ TP(x, y) = 140x - 2x^2 - 2xy - 3y^2 + 110y - 150 \]
Pre nájdenie extrému funkcie dvoch premenných musíme najprv nájsť stacionárne body, teda vypočítať prvé parciálne derivácie a položiť ich rovné nule:
1. Parciálna derivácia podľa \(x\): \[ \frac{\partial TP(x, y)}{\partial x} = 140 - 4x - 2y \] \[ 140 - 4x - 2y = 0 \] \[ -4x - 2y = -140 \quad / : (-2) \] \[ 2x + y = 70 \Rightarrow y = 70 - 2x \]
2. Parciálna derivácia podľa \(y\): \[ \frac{\partial TP(x, y)}{\partial y} = -2x - 6y + 110 \] \[ -2x - 6y + 110 = 0 \]
3. Riešenie sústavy rovníc: Dosadíme vyjadrené \(y\) z prvej rovnice do druhej: \[ -2x - 6(70 - 2x) + 110 = 0 \] \[ -2x - 420 + 12x + 110 = 0 \] \[ 10x - 310 = 0 \] \[ 10x = 310 \] \[ x = 31 \]
Vypočítame \(y\): \[ y = 70 - 2(31) = 70 - 62 = 8 \]
Stacionárny bod sa nachádza v bode \([31; 8]\).
4. Overenie extrému: Ďalej overíme, či sa v tomto bode nachádza lokálne maximum, pomocou druhých parciálnych derivácií a Hessiánu: \[ \frac{\partial^2 TP}{\partial x^2} = -4 \] \[ \frac{\partial^2 TP}{\partial y^2} = -6 \] \[ \frac{\partial^2 TP}{\partial x \partial y} = -2 \]
Hessián \(H\): \[ H = \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ -2 & -6 \end{pmatrix} \]
Determinant \(H\): \[ |H| = (-4) \cdot (-6) - (-2) \cdot (-2) = 24 - 4 = 20 \]
Pretože determinant \(|H| > 0\) a \(\frac{\partial^2 TP}{\partial x^2} = -4 < 0\), funkcia v tomto stacionárnom bode dosahuje ostré lokálne maximum.
Zisk bude maximálny pri výrobe \(31\) kusov výrobku \(V_1\) a \(8\) kusov výrobku \(V_2\).
Viac k tejto téme na: https://hodinovaucitelka.sk/materialy_vysokoskolska_matematika.php
Je to pre Teba užitočné a oceníš ďalšie takéto materiály? Pomôcť mi môžeš príspevkom mi kávu cez https://www.buymeacoffee.com/hodinova
Ďakujem Dana Kozáková - hodinová učiteľka