2. Príklady: Rovnováha, CS, PS

ZADANIA

Príklad 2.1

Funkcie dopytu a ponuky, kde \(P\) je cena a \(Q\) je množstvo výrobkov, sú dané vzťahmi:

  • Funkcia dopytu: \(D(P): Q = -2P^2 + 75\)
  • Funkcia ponuky: \(S(P): Q = P - 2\)

Príklad 2.2

Funkcie dopytu a ponuky, kde \(P\) je cena a \(Q\) je množstvo výrobkov, sú dané vzťahmi:

  • Funkcia dopytu: \(D(P): Q = -2P^2 + 98\)
  • Funkcia ponuky: \(S(P): Q = P - 3\)

Príklad 2.3

Funkcie dopytu a ponuky, kde \(P\) je cena a \(Q\) je množstvo výrobkov, sú dané vzťahmi:

  • Dopyt (Demand): \(d(Q): P = 20 - Q\)
  • Ponuka (Supply): \(s(Q): P = Q^2 + 5Q + 4\)

Príklad 2.4

Funkcie dopytu a ponuky, kde \(P\) je cena a \(Q\) je množstvo výrobkov, sú dané vzťahmi:

  • Dopyt: \(d(Q): P = 30 - 3Q\)
  • Ponuka: \(s(Q): P = Q^2 + 7Q + 6\)

Určte ekonomicky významné intervaly pre premenné \(P\) a \(Q\), nájdite bod rovnováhy a vypočítajte podnikateľský prebytok (prebytok výrobcu) aj prebytok spotrebiteľa.

Príklad 2.1

Zadanie:

Funkcie dopytu a ponuky, kde \(P\) je cena a \(Q\) je množstvo výrobkov, sú dané vzťahmi:

  • Funkcia dopytu: \(D(P): Q = -2P^2 + 75\)
  • Funkcia ponuky: \(S(P): Q = P - 2\)

Riešenie:

Hranice, kde to dáva ekonomicky zmysel:

  • pre cenu \(P\): \[-2P^2 + 75 = 0\] \[P = \sqrt{75} \approx 6,12\]

\[P - 2 = 0\] \[P = 2\]

  • pre množstvo \(Q\): \[Q= -2\cdot 0 + 75\] \[Q = 75\]

  • výsledné podmienky: \[2 \leq P \leq \sqrt{75} \approx 6,12\] \[0 \leq Q \leq 75\]

Rovnováha:

Najprv nájdeme bod trhovej rovnováhy (kde sa množstvo dopytu rovná množstvu ponuky): \[ D(P) = S(P) \] \[-2P^2 + 75 = P - 2\] \[2P^2 + P - 77 = 0\]

Túto kvadratickú rovnicu vyriešime pomocou diskriminantu: \[ P_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-77)}}{2 \cdot 2} = \] \[ = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 616}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{617}}{4} \approx \frac{-1 \pm 24,84}{4} \]

\[ P_1 \approx \frac{23,84}{4} = 5,96 \] \[ P_2 \approx \frac{-25,84}{4} = -6,46 \quad \text{(zápornú cenu ignorujeme)} \]

  • Rovnovážna cena je teda \(P_E \approx 5,96\).
  • Rovnovážne množstvo je \(Q_E = P_E - 2 \approx 5,96 - 2 = 3,96\).

Prebytok spotrebiteľa (Consumer Surplus - CS):

Prebytok spotrebiteľa sa vypočíta ako určitý integrál funkcie dopytu od rovnovážnej ceny \(P_E\) po maximálnu cenu, kedy je dopyt nulový.

Maximálna cena (dopyt sa rovná nule): \[ -2P^2 + 75 = 0 \Rightarrow 2P^2 = 75 \Rightarrow P = \sqrt{37,5} \approx 6,12 \]

Výpočet integrálu: \[ CS = \int_{P_E}^{6,12} D(P) \, dP = \int_{5,96}^{6,12} (-2P^2 + 75) \, dP \] \[ CS = \left[ -\frac{2}{3}P^3 + 75P \right]_{5,96}^{6,12} \] \[ CS = \left( -\frac{2}{3}(6,12)^3 + 75(6,12) \right) - \left( -\frac{2}{3}(5,96)^3 + 75(5,96) \right) \] \[ CS \approx 306,1860 - 304,91208 \approx 1,27392 \]

Prebytok výrobcu (Producer Surplus - PS):

Prebytok výrobcu sa vypočíta ako určitý integrál z funkcie ponuky od počiatočnej ceny ponuky (kedy \(Q=0\), čo je \(P=2\)) po rovnovážnu cenu \(P_E\).

Výpočet integrálu: \[ PS = \int_{2}^{P_E} S(P) \, dP = \int_{2}^{5,96} (P - 2) \, dP \] \[ PS = \left[ \frac{P^2}{2} - 2P \right]_{2}^{5,96} \] \[ PS = \left( \frac{5,96^2}{2} - 2(5,96) \right) - \left( \frac{2^2}{2} - 2(2) \right) \] \[ PS = \left( \frac{35,5216}{2} - 11,92 \right) - (2 - 4) \] \[ PS \approx (17,7608 - 11,92) - (-2) \] \[ PS \approx 5,8408 + 2 = 7,8408 \]

Príklad 2.2

Zadanie:

Funkcie dopytu a ponuky, kde \(P\) je cena a \(Q\) je množstvo výrobkov, sú dané vzťahmi:

  • Funkcia dopytu: \(D(P): Q = -2P^2 + 98\)
  • Funkcia ponuky: \(S(P): Q = P - 3\)

Riešenie:

Hranice, kde to dáva ekonomicky zmysel:

  • pre cenu \(P\): \[-2P^2 + 98 = 0\] \[P = \sqrt{49} = 7\]

\[P - 3 = 0\] \[P = 3\]

  • pre množstvo \(Q\): \[Q = -2\cdot 0 + 98\] \[Q = 98\]

  • výsledné podmienky: \[3 \leq P \leq 7\] \[0 \leq Q \leq 98\]

Rovnováha:

Najprv nájdeme bod trhovej rovnováhy (kde sa množstvo dopytu rovná množstvu ponuky): \[ D(P) = S(P) \] \[-2P^2 + 98 = P - 3\] \[2P^2 + P - 101 = 0\]

Túto kvadratickú rovnicu vyriešime pomocou diskriminantu: \[ P_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-101)}}{2 \cdot 2} = \] \[ = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 808}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{809}}{4} \approx \frac{-1 \pm 28,44}{4} \]

\[ P_1 \approx \frac{27,44}{4} = 6,86 \] \[ P_2 \approx \frac{-29,44}{4} = -7,36 \quad \text{(zápornú cenu ignorujeme)} \]

  • Rovnovážna cena je teda \(P_E \approx 6,86\).
  • Rovnovážne množstvo je \(Q_E = P_E - 3 \approx 6,86 - 3 = 3,86\).

Prebytok spotrebiteľa (Consumer Surplus - CS):

Prebytok spotrebiteľa sa vypočíta ako určitý integrál funkcie dopytu od rovnovážnej ceny \(P_E\) po maximálnu cenu, kedy je dopyt nulový.

Maximálna cena (dopyt sa rovná nule): \[ -2P^2 + 98 = 0 \Rightarrow 2P^2 = 98 \Rightarrow P = 7 \]

Výpočet integrálu: \[ CS = \int_{P_E}^{7} D(P) \, dP = \int_{6,86}^{7} (-2P^2 + 98) \, dP \] \[ CS = \left[ -\frac{2}{3}P^3 + 98P \right]_{6,86}^{7} \] \[ CS = \left( -\frac{2}{3}(7)^3 + 98(7) \right) - \left( -\frac{2}{3}(6,86)^3 + 98(6,86) \right) \] \[ CS \approx 457,3333 - 457,0489 \approx 0,2844 \]

(Poznámka: Drobný rozdiel medzi ručným výpočtom so zaokrúhlenou rovnovážnou cenou \(P_E \approx 6,86\) a presnou hodnotou v grafe je spôsobený tým, že R v grafe počíta s maximálnou presnosťou bez zaokrúhľovania medzivýsledkov.)

Prebytok výrobcu (Producer Surplus - PS):

Prebytok výrobcu sa vypočíta ako určitý integrál z funkcie ponuky od počiatočnej ceny ponuky (kedy \(Q=0\), čo je \(P=3\)) po rovnovážnu cenu \(P_E\).

Výpočet integrálu: \[ PS = \int_{3}^{P_E} S(P) \, dP = \int_{3}^{6,86} (P - 3) \, dP \] \[ PS = \left[ \frac{P^2}{2} - 3P \right]_{3}^{6,86} \] \[ PS = \left( \frac{6,86^2}{2} - 3(6,86) \right) - \left( \frac{3^2}{2} - 3(3) \right) \] \[ PS = \left( \frac{47,0596}{2} - 20,58 \right) - (4,5 - 9) \] \[ PS \approx (23,5298 - 20,58) - (-4,5) \] \[ PS \approx 2,9498 + 4,5 = 7,4498 \]

(Poznámka: Drobný rozdiel medzi ručným výpočtom so zaokrúhlenou rovnovážnou cenou \(P_E \approx 6,86\) a presnou hodnotou v grafe je spôsobený tým, že R v grafe počíta s maximálnou presnosťou bez zaokrúhľovania medzivýsledkov.)

Príklad 2.3

Zadanie:

Funkcie dopytu a ponuky, kde \(P\) je cena a \(Q\) je množstvo výrobkov, sú dané vzťahmi:

  • Dopyt (Demand): \(d(Q): P = 20 - Q\)
  • Ponuka (Supply): \(s(Q): P = Q^2 + 5Q + 4\)

Riešenie:

Hranice, kde to dáva ekonomicky zmysel:

  • pre množstvo \(Q\): \[20 - Q = 0\] \[Q = 20\]

\[Q^2 + 5Q + 4 = 0\] - záporné, \(Q\) musí byť aspoň 0

  • pre cenu \(P\): \[P = 20 - 0\] \[P = 20\]

\[P = 0^2 + 5\cdot 0 + 4\] \[P = 4\]

  • výsledné podmienky: \[0 \leq Q \leq 20\] \[4 \leq P \leq 20\]

Rovnováha:

Bod rovnováhy \(E\) nájdeme tam, kde sa cena dopytu rovná cene ponuky, teda \(d(Q) = s(Q)\): \[ 20 - Q = Q^2 + 5Q + 4 \] Presunieme všetky členy rovnice na jednu stranu a vytvoríme kvadratickú rovnicu: \[ Q^2 + 6Q - 16 = 0 \]

Túto kvadratickú rovnicu riešime rozkladom na súčin, alebo pomocou diskriminantu: \[ Q_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16)}}{2} \] \[ Q_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-6 \pm 10}{2} \]

\[ Q_1 = \frac{4}{2} = 2 \] \[ Q_2 = \frac{-16}{2} = -8 \quad \text{(záporné množstvo ignorujeme)} \]

  • Rovnovážne množstvo je \(Q_E = 2\).
  • Rovnovážnu cenu \(P_E\) zistíme dosadením \(Q_E\) do funkcie dopytu (alebo do funkcie ponuky): \[ P_E = 20 - 2 = 18 \]

Rovnovážny bod \(E\) má súradnice \([Q_E = 2, P_E = 18]\).

Prebytok spotrebiteľa (Consumer Surplus - CS):

Prebytok spotrebiteľa sa dá dopočítať určitým integrálom z funkcie dopytu (od \(0\) po \(Q_E\)) zmenšeným o príjem (výdavky) na trhu v rovnováhe (\(P_E \cdot Q_E\)). \[ CS = \int_{0}^{Q_E} d(Q) \, dQ - P_E \cdot Q_E \] \[ CS = \int_{0}^{2} (20 - Q) \, dQ - 18 \cdot 2 \] \[ CS = \left[ 20Q - \frac{Q^2}{2} \right]_{0}^{2} - 36 \] \[ CS = \left( 20(2) - \frac{2^2}{2} \right) - 36 = (40 - 2) - 36 = 38 - 36 = 2 \]

Prebytok výrobcu (Producer Surplus - PS):

Prebytok výrobcu sa vypočíta ako celkový príjem v rovnováhe (\(P_E \cdot Q_E\)) zmenšený o určitý integrál funkcie ponuky od \(0\) po \(Q_E\). \[ PS = P_E \cdot Q_E - \int_{0}^{Q_E} s(Q) \, dQ \] \[ PS = 18 \cdot 2 - \int_{0}^{2} (Q^2 + 5Q + 4) \, dQ \] \[ PS = 36 - \left[ \frac{Q^3}{3} + 5\frac{Q^2}{2} + 4Q \right]_{0}^{2} \] \[ PS = 36 - \left( \frac{2^3}{3} + 5\frac{2^2}{2} + 4(2) \right) - 0 \] \[ PS = 36 - \left( \frac{8}{3} + \frac{20}{2} + 8 \right) = 36 - \left( \frac{8}{3} + 10 + 8 \right) \] \[ PS = 36 - \left( \frac{8}{3} + 18 \right) = 18 - \frac{8}{3} = \frac{54 - 8}{3} = \frac{46}{3} \approx 15,33 \]

Príklad 2.4

Zadanie:

Funkcie dopytu a ponuky, kde \(P\) je cena a \(Q\) je množstvo výrobkov, sú dané vzťahmi:

  • Dopyt: \(d(Q): P = 30 - 3Q\)
  • Ponuka: \(s(Q): P = Q^2 + 7Q + 6\)

Určte ekonomicky významné intervaly pre premenné \(P\) a \(Q\), nájdite bod rovnováhy a vypočítajte podnikateľský prebytok (prebytok výrobcu) aj prebytok spotrebiteľa.

Riešenie:

1. Ekonomicky významné intervaly:

Pre funkciu dopytu (\(d(Q)\)):

  • Maximálna cena (keď \(Q = 0\)): \(P = 30\)
  • Maximálne množstvo (keď \(P = 0\)): \(30 - 3Q = 0 \Rightarrow 3Q = 30 \Rightarrow Q = 10\)

Pre funkciu ponuky (\(s(Q)\)):

  • Kvadratická funkcia, ktorej korene sú \(Q^2 + 7Q + 6 = 0 \Rightarrow (Q+6)(Q+1) = 0 \Rightarrow Q_1 = -6, Q_2 = -1\).
  • Vrchol paraboly je v bode \(V = [-3,5; -6,25]\).
  • Ekonomický zmysel to má iba pre \(Q \ge 0\). Keď \(Q = 0\), cena je \(P = 0^2 + 7(0) + 6 = 6\).
  • Z toho vyplýva, že ponuka začína na cene \(P = 6\).

Výsledné podmienky: \[0 \leq Q \leq 10\] \[0 \leq P \leq 30\]

2. Trhová rovnováha (Bod E): Bod rovnováhy \(E\) nájdeme tam, kde sa cena dopytu rovná cene ponuky, teda \(d(Q) = s(Q)\): \[ 30 - 3Q = Q^2 + 7Q + 6 \] \[ 0 = Q^2 + 7Q + 6 - 30 + 3Q \] \[ 0 = Q^2 + 10Q - 24 \]

Kvadratickú rovnicu vyriešime pomocou diskriminantu: \[ Q_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4(1)(-24)}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{-10 \pm 14}{2} \] \[ Q_1 = \frac{4}{2} = 2 \] \[ Q_2 = \frac{-24}{2} = -12 \quad \text{(záporné množstvo ignorujeme)} \]

Rovnovážne množstvo je \(Q_E = 2\). Rovnovážnu cenu vypočítame dosadením do dopytu: \[ P_E = 30 - 3(2) = 24 \] Bod rovnováhy je \(E = [2; 24]\).

3. Prebytok výrobcu (Podnikateľský prebytok - PS): Prebytok výrobcu sa vypočíta ako celkový príjem v rovnováhe (\(P_E \cdot Q_E\)) zmenšený o určitý integrál funkcie ponuky od \(0\) po \(Q_E\): \[ PS = P_E \cdot Q_E - \int_{0}^{Q_E} s(Q) \, dQ \] \[ PS = 24 \cdot 2 - \int_{0}^{2} (Q^2 + 7Q + 6) \, dQ \] \[ PS = 48 - \left[ \frac{Q^3}{3} + 7\frac{Q^2}{2} + 6Q \right]_{0}^{2} \] \[ PS = 48 - \left( \frac{2^3}{3} + 7\frac{2^2}{2} + 6(2) \right) - 0 \] \[ PS = 48 - \left( \frac{8}{3} + 14 + 12 \right) = 48 - \left( \frac{8}{3} + 26 \right) \] \[ PS = 48 - 26 - \frac{8}{3} = 22 - \frac{8}{3} = \frac{66 - 8}{3} = \frac{58}{3} \approx 19,33 \]

4. Prebytok spotrebiteľa (Consumer Surplus - CS): Prebytok spotrebiteľa sa dá dopočítať určitým integrálom z funkcie dopytu (od \(0\) po \(Q_E\)) zmenšeným o príjem na trhu v rovnováhe (\(P_E \cdot Q_E\)). \[ CS = \int_{0}^{Q_E} d(Q) \, dQ - P_E \cdot Q_E \] \[ CS = \int_{0}^{2} (30 - 3Q) \, dQ - 24 \cdot 2 \] \[ CS = \left[ 30Q - \frac{3Q^2}{2} \right]_{0}^{2} - 48 \] \[ CS = \left( 30(2) - \frac{3(2^2)}{2} \right) - 48 \] \[ CS = \left( 60 - \frac{12}{2} \right) - 48 = (60 - 6) - 48 \] \[ CS = 54 - 48 = 6 \]

HODINOVÁ UČITEĽKA

Viac k tejto téme na: https://hodinovaucitelka.sk/materialy_vysokoskolska_matematika.php

Je to pre Teba užitočné a oceníš ďalšie takéto materiály? Pomôcť mi môžeš príspevkom mi kávu cez https://www.buymeacoffee.com/hodinova

Ďakujem Dana Kozáková - hodinová učiteľka