Určte definičný obor, intervaly monotónnosti a extrémy funkcie: \[ f(x) = \frac{2x}{x^2+25} \]
Určte definičný obor, intervaly monotónnosti a extrémy funkcie: \[ f(x) = \frac{2x^2}{x-4} \]
Určte definičný obor, intervaly monotónnosti a extrémy funkcie: \[ f(x) = \frac{3x}{x^2+16} \]
Určte definičný obor, intervaly monotónnosti a extrémy funkcie: \[ f(x) = \frac{2x}{x^2+25} \]
1. Definičný obor:
Menovateľ zlomku nesmie byť nula: \(x^2 + 25 \neq 0\). Keďže \(x^2 \geq 0\) pre všetky reálne čísla, \(x^2 + 25\) bude vždy kladné a nikdy sa nerovná nule. \[ D(f) = \mathbb{R} \]
2. Prvá derivácia a stacionárne body:
Pre určenie monotónnosti a extrémov funkciu zderivujeme podľa pravidla pre podiel \(\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\): \[ f'(x) = \frac{(2x)' \cdot (x^2+25) - (2x) \cdot (x^2+25)'}{(x^2+25)^2} \] \[ f'(x) = \frac{2 \cdot (x^2+25) - 2x \cdot (2x)}{(x^2+25)^2} = \frac{2x^2 + 50 - 4x^2}{(x^2+25)^2} = \frac{-2x^2 + 50}{(x^2+25)^2} \]
Stacionárne body nájdeme tam, kde \(f'(x) = 0\). Menovateľ je vždy kladný, takže stačí položiť nule čitateľ: \[ -2x^2 + 50 = 0 \] \[ 50 = 2x^2 \] \[ 25 = x^2 \] \[ x_{1,2} = \pm 5 \]
Stacionárne body sú \(x_1 = -5\) a \(x_2 = 5\).
3. Intervaly monotónnosti:
Číselnú os rozdelíme stacionárnymi bodmi (\(-5, 5\)) na intervaly a zistíme znamienko prvej derivácie (čitateľa \(-2x^2+50\)) v každom z nich:
| Interval | \((-\infty, -5)\) | \((-5, 5)\) | \((5, \infty)\) |
|---|---|---|---|
Testovací bod |
\(x = -6\) | \(x = 0\) | \(x = 6\) |
Znamienko \(f'(x)\) |
\(-2(-6)^2 + 50 = -22 < 0\) (-) | \(-2(0)^2 + 50 = 50 > 0\) (+) | \(-2(6)^2 + 50 = -22 < 0\) (-) |
Monotónnosť |
Klesá \(\searrow\) | Rastie \(\nearrow\) | Klesá \(\searrow\) |
4. Lokálne extrémy:
Na základe zmeny monotónnosti funkcie určíme extrémy:
Určte definičný obor, intervaly monotónnosti a extrémy funkcie: \[ f(x) = \frac{2x^2}{x-4} \]
1. Definičný obor:
Menovateľ zlomku sa nesmie rovnať nule, preto \(x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4\). \[ D(f) = (-\infty, 4) \cup (4, \infty) \]
2. Prvá derivácia a stacionárne body:
Pre určenie monotónnosti a extrémov musíme funkciu zderivovať pomocou pravidla pre podiel \(\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\): \[ f'(x) = \frac{(2x^2)' \cdot (x-4) - (2x^2) \cdot (x-4)'}{(x-4)^2} \] \[ f'(x) = \frac{4x(x-4) - 2x^2(1)}{(x-4)^2} = \frac{4x^2 - 16x - 2x^2}{(x-4)^2} = \frac{2x^2 - 16x}{(x-4)^2} \]
Vyjmeme \(2x\) pred zátvorku: \[ f'(x) = \frac{2x(x-8)}{(x-4)^2} \]
Stacionárne body nájdeme tam, kde \(f'(x) = 0\): \[ 2x(x-8) = 0 \] Z tohto vyplýva: \[ x_1 = 0 \] \[ x_2 = 8 \]
3. Intervaly monotónnosti:
Číselnú os rozdelíme stacionárnymi bodmi (\(0, 8\)) a bodom nespojitosti (\(4\)) na intervaly a zistíme znamienko prvej derivácie v každom z nich:
| Interval | \((-\infty, 0)\) | \((0, 4)\) | \((4, 8)\) | \((8, \infty)\) |
|---|---|---|---|---|
Testovací bod |
\(x = -1\) | \(x = 2\) | \(x = 5\) | \(x = 10\) |
Znamienko \(f'(x)\) |
\(\frac{2(-1)(-9)}{(-5)^2} > 0\) (+) | \(\frac{2(2)(-6)}{(-2)^2} < 0\) (-) | \(\frac{2(5)(-3)}{1^2} < 0\) (-) | \(\frac{2(10)(2)}{6^2} > 0\) (+) |
Monotónnosť |
Rastie \(\nearrow\) | Klesá \(\searrow\) | Klesá \(\searrow\) | Rastie \(\nearrow\) |
4. Lokálne extrémy:
Na základe zmeny monotónnosti funkcie určíme extrémy:
Určte definičný obor, intervaly monotónnosti a extrémy funkcie: \[ f(x) = \frac{3x}{x^2+16} \]
1. Definičný obor:
Menovateľ zlomku nesmie byť nula: \(x^2 + 16 \neq 0\). Keďže \(x^2 \geq 0\) pre všetky reálne čísla, výraz \(x^2 + 16\) je vždy kladný a nikdy sa nerovná nule. \[ D(f) = \mathbb{R} \]
2. Prvá derivácia a stacionárne body:
Pre určenie monotónnosti a extrémov funkciu zderivujeme podľa pravidla pre podiel \(\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\): \[ f'(x) = \frac{(3x)' \cdot (x^2+16) - (3x) \cdot (x^2+16)'}{(x^2+16)^2} \] \[ f'(x) = \frac{3 \cdot (x^2+16) - 3x \cdot (2x)}{(x^2+16)^2} = \frac{3x^2 + 48 - 6x^2}{(x^2+16)^2} = \frac{48 - 3x^2}{(x^2+16)^2} \]
Stacionárne body nájdeme tam, kde \(f'(x) = 0\). Menovateľ je vždy kladný, takže stačí položiť nule čitateľ: \[ 48 - 3x^2 = 0 \] \[ -3x^2 = -48 \] \[ x^2 = 16 \] \[ x_{1,2} = \pm 4 \]
Stacionárne body sú \(x_1 = -4\) a \(x_2 = 4\).
3. Intervaly monotónnosti:
Číselnú os rozdelíme stacionárnymi bodmi (\(-4, 4\)) na intervaly a zistíme znamienko prvej derivácie (čitateľa \(48 - 3x^2\)) v každom z nich:
| Interval | \((-\infty, -4)\) | \((-4, 4)\) | \((4, \infty)\) |
|---|---|---|---|
Testovací bod |
\(x = -5\) | \(x = 0\) | \(x = 5\) |
Znamienko \(f'(x)\) |
\(48 - 3(-5)^2 = -27 < 0\) (-) | \(48 - 3(0)^2 = 48 > 0\) (+) | \(48 - 3(5)^2 = -27 < 0\) (-) |
Monotónnosť |
Klesá \(\searrow\) | Rastie \(\nearrow\) | Klesá \(\searrow\) |
4. Lokálne extrémy:
Na základe zmeny monotónnosti funkcie určíme extrémy:
Viac k tejto téme na: https://hodinovaucitelka.sk/materialy_vysokoskolska_matematika.php
Je to pre Teba užitočné a oceníš ďalšie takéto materiály? Pomôcť mi môžeš príspevkom mi kávu cez https://www.buymeacoffee.com/hodinova
Ďakujem Dana Kozáková - hodinová učiteľka